게시판 > 질답게시판 > pipe에 holding되어있는 액체의 압력과 부피와의 관계

스테파노 Stefano

10-01-18 20:35

(1) Pipe 내에 액만 차 있고 압력이 유지된다고 하면.. 유지되는 압력에서의 누설량은 Orifice 계산 방법으로 계산됩니다.

Mass Flow of Water, M (kg/h) = (C, 투과상수)*(ΔP)^0.5.......................(1)

Q는 P의 함수이고 투과상수는 상수이기 때문에 위의 (1)식에 알고 있는 값으로부터 투과상수(단위 주의)를 구할 수 있습니다.
ΔP=10 이고 Q10을 알고 있다면 (C, 투과상수) = Q10*(10)^(-0.5).......(2)

위의 투과상수와 를 임의의 ΔP를 (1)식에 대입하면 유량 Q를 구할 수 있습니다.

(2) Pipe외부에서 압력을 유지하는 장치가 없고 닫혀진 Pipe내에 압력을 유지하는 공기가 차 있고 물이 흘러나오면 공기가 팽창하면서 압력이 떨어지는 형태의 복잡한 경우라면 계산이 좀 복잡해 집니다.

Inside Pressure, Π = (A/V), A =nRT = 상수(단위는 수식에서 취출), V=공기층의 부피, m^3...............(3)

한편 공기팽창한 부피만큼 액이 흘러나올 것이므로
Mass Flow of Water, Q (m3/h) = M/ρ= dV/dt = - (C, 투과상수)*(Π-Pa)^0.5.......................................(1)'
Π=내부 공기 절대압, Π-Pa=ΔP=내부 공기 절대압과 외부 대기압의 차, bar; ρ=물의 밀도 (kg/m3)

여기서도 (1)'식으로 물이 누설되는 양을 구할 수 있으나 내부 절대압력 Π가 시간에 따라 계속변하고 있기 때문에 시간에 따른 압력 Π를 알아야 누설 부피유량 Q (또는 질량유량 M=Qρ)을 구할 수 있습니다. 결국 t와 Π의 관계식을 구해야 유량이 구해집니다. 좀 복잡하지만 이야기가 나왔으이 풀어보도록 하세요.

위의 (3)식과 (3)식을 t로 미분하여 (1)'식에 대입하여 V 혹은 dV를 소거하면 다음 수식이 얻어집니다.
(C/ρ)(Π-Pa)^0.5= (A/Π^2)*dΠ/dt................................................................................................(4)

위의 (4)식에서 시간에 따른 Pipe내부 압력을 적분해서 구할 수 있습니다. 그러나 이 적분수식은 풀기아주 어렵습니다.
Π에 도달하는데 소요시간 t를 계산하는 형태의 결과식만을 인용하자면 다음과 같습니다.

t = (Aρ/C) *[ {(Π-Pa)^0.5}/Pa+{1/(2Pa^(3/2)}*tan^-1{(Π-Pa)/Pa}^0.5}] + B...................................(5)

B는 적분상수, Pa는 외부 공기의 절대압력, Π는 내부압력, A는 (3)식으로 나타낸 상수, ρ는 물의 밀도, C는 (2)식으로 구한 투과(누설)상수 입니다. 시행오차법으로 t일 때의 Π를 구하여 (1)'수식에 대입하면 누설유량을 구할 수 있습니다.

(3) 만일 Pipe내에 액체만 차있고 Pressure Backup이 되지 않는경우라고 한다면..
미량의 유체가 새어나오고 나서는 압력이 급격히 떨어지고 맙니다. Pipe벽에 Stress가 걸리지 않는 상태로 된다면 거의 즉시 대기압으로 떨어지게 됩니다.

액이 충만된 Pipe가 열팽창되어 급격히 압력이 올라가면 Pipe내의 압력은 거의 수직상승하게 되고 Pipe 벽에 걸리는 응력이 재료의 Yield Strength에 도달되면 Pipe는 영구변형되고 다시 급상승하여 Pipe가 파열되기도 합니다.

"액충만 Pipe에서 걸리는 압력"에 대해서도 이곳 게시판 어딘가에서 설명한 적이 있습니다. 관심있으면 이곳 게시판에서 적당한 키워드로 찾아보세요.

(1) Pipe 내에 액만 차 있고 압력이 유지된다고 하면.. 유지되는 압력에서의 누설량은 Orifice 계산 방법으로 계산됩니다.

Mass Flow of Water, M (kg/h)  =  (C, 투과상수)*(ΔP)^0.5.......................(1)

Q는 P의 함수이고 투과상수는 상수이기 때문에 위의 (1)식에 알고 있는 값으로부터 투과상수(단위 주의)를 구할 수 있습니다. 
ΔP=10 이고 Q10을 알고 있다면   (C, 투과상수) = Q10*(10)^(-0.5).......(2)

위의 투과상수와 를 임의의 ΔP를 (1)식에 대입하면 유량 Q를 구할 수 있습니다.

(2) Pipe외부에서 압력을 유지하는 장치가 없고 닫혀진 Pipe내에 압력을 유지하는 공기가 차 있고 물이 흘러나오면 공기가 팽창하면서 압력이 떨어지는 형태의 복잡한 경우라면 계산이 좀 복잡해 집니다.

Inside Pressure, Π = (A/V),   A =nRT = 상수(단위는 수식에서 취출),  V=공기층의 부피, m^3...............(3)

한편 공기팽창한 부피만큼 액이 흘러나올 것이므로
Mass Flow of Water, Q (m3/h) = M/ρ= dV/dt = - (C, 투과상수)*(Π-Pa)^0.5.......................................(1)'   
Π=내부 공기 절대압,  Π-Pa=ΔP=내부 공기 절대압과 외부 대기압의 차, bar;  ρ=물의 밀도 (kg/m3)

여기서도 (1)'식으로 물이 누설되는 양을 구할 수 있으나 내부 절대압력 Π가 시간에 따라 계속변하고 있기 때문에 시간에 따른 압력 Π를 알아야 누설 부피유량 Q (또는 질량유량 M=Qρ)을 구할 수 있습니다.   결국 t와 Π의 관계식을 구해야 유량이 구해집니다.  좀 복잡하지만 이야기가 나왔으이 풀어보도록 하세요.

위의 (3)식과 (3)식을 t로 미분하여 (1)'식에 대입하여 V 혹은 dV를 소거하면 다음 수식이 얻어집니다. 
(C/ρ)(Π-Pa)^0.5= (A/Π^2)*dΠ/dt................................................................................................(4)

위의 (4)식에서 시간에 따른 Pipe내부 압력을 적분해서 구할 수 있습니다.   그러나 이 적분수식은 풀기아주 어렵습니다.  
Π에 도달하는데 소요시간 t를 계산하는 형태의 결과식만을 인용하자면 다음과 같습니다.

t = (Aρ/C) *[ {(Π-Pa)^0.5}/Pa+{1/(2Pa^(3/2)}*tan^-1{(Π-Pa)/Pa}^0.5}] + B...................................(5)

B는 적분상수, Pa는 외부 공기의 절대압력, Π는 내부압력, A는 (3)식으로 나타낸 상수, ρ는 물의 밀도, C는 (2)식으로 구한 투과(누설)상수 입니다.   시행오차법으로 t일 때의 Π를 구하여 (1)'수식에 대입하면 누설유량을 구할 수 있습니다.

(3) 만일 Pipe내에 액체만 차있고 Pressure Backup이 되지 않는경우라고 한다면..
미량의 유체가 새어나오고 나서는 압력이 급격히 떨어지고 맙니다.  Pipe벽에 Stress가 걸리지 않는 상태로 된다면 거의 즉시 대기압으로 떨어지게 됩니다.

액이 충만된 Pipe가 열팽창되어 급격히 압력이 올라가면 Pipe내의 압력은 거의 수직상승하게 되고 Pipe 벽에 걸리는 응력이 재료의 Yield Strength에 도달되면 Pipe는 영구변형되고 다시 급상승하여 Pipe가 파열되기도 합니다.

"액충만 Pipe에서 걸리는 압력"에 대해서도 이곳 게시판 어딘가에서 설명한 적이 있습니다. 관심있으면 이곳 게시판에서 적당한 키워드로 찾아보세요.

춘삼이 jun8111

10-01-20 17:24

기대했던 것보다도 이상의 자세한 답변 너무 감사드립니다!^^
써주신 3가지의 경우 중에서 3번에 가까운 경우인데, 압력이 급격하게
떨어지지는 않은 경우이었습니다. 정성스레 써주신 답변을 가지고 공부를
더 해보도록 하겠습니다. 정말 감사드립니다!

Stefano

10-01-22 14:42

(1) 3번째의 경우 Closed System에서는 액체에 의해 압력이 걸려있을 때 액이 누설되면 압력은 급격히 떨어져 버립니다.
반대로 액이 차 있다가 액의 온도가 올라가거나 액을 피스톤으로 밀어주는 경우 압력은 "사정없이"올라가 액이 팽창되려는 압력에 의해 용기벽에 압력이 가해져 용기벽에 걸리는 응력에 의해 평형을 이루게 되는데 평형이 깨지면 용기벽은 영구변형을 일으키고(용기가 변형되고) 응력이 더 늘어나면 파손됩니다.

(2) 따라서 압력이 급격히 떨어지지 않는 경우라고 한다면 용기의 부피가 아주 크고 누설량이 아주 작거나 (2)의 경우에 해당합니다 (1)의 경우에는 보충해주는 압력에 의해 압력이 일정하게 유지되지요. 현재의 시스템이 어느 경우인지 다시 확인해 보아야 할 것입니다.