게시판 > 질답게시판 > 시간에 따른 기체부분압 방정식 유도

스테파노 Stefano

13-10-31 14:02

(1) 물질이동수식에 Sievert's equation을 사용하면서 방정식 풀이가 어려워진 것 같습니다. 이 수식은 고체금속에 2분자 기체가 흡착된후 내부로 확산되는데 사용하는 수식으로 보입니다.

(2) Link로 올려놓은 미분방정식 풀이중 맨 끝의 수식은 y=f(x) 형태로 나타내는 문제라서 마치 방정식의 근을 구하는 문제와 같은 부류의 문제인데 흔히 접할수 없는경우라서 별도로 찾아봐야 할 것입니다. 잠정 결론을 먼저 답해드리자면 질문의 시스템에서는 맨 끝에서 두번째 수식을 이용하여 수치해석 방법으로 초기치 f(0)으로부터 x를 미분량 변화시켜가면서 f(x)를 구하는 방법을 사용하는 것이 수월할 것으로 보며 수식에 나타난 적분상수는 경계치를 이용하여 구하면 되겠지요.

(3) df(t)/dt= A-B*f(t) ^0.5 ............................(1) 형식의 미분방정식풀이 (세부 수식 모양은 두번째 링크 참조)
df/(A-B*f^0.5)=dx ............................(1a) 변수분리형

1) 선형 혹은 변수분리형으로 변형해도 풀이가 어려우므로 완전미분방정식 형태로로 수식변형:
{-A+B*f^0.5} + df/dx= 0 ...........................(2)
완전비방형식은 R(x,f)*dx + S(x,f)*df = 0 형태이고 ∂R/∂f = ∂S/∂x인 경우임;

2) ∂R/∂f = ∂S/∂x이 아닐경우 (1)식의 양변에 적분인수를 곱하여 완전미방형식으로 변화시키기 위해, (2)식을
{-A+B*f^0.5} + df/dx ≡ R + S*df/dx = 0......(2a)
이라고 두면 항등식이므로 R≡ {-A+B*f^0.5}; S≡1........(3) 이라고 지정됨 (원문에서는 R의 부호 다름)

3) 위의 (3)식에 적분인수 μ(f)를 곱해서 얻어진 수식은..
μ(f)*R + μ(f)*S*df/dx = 0 .........................(4) 이것이 완전미방이 되도록 이 μ(f)를 구함
적분인수를 곱한 후 얻어진 이 수식이 완전미방이라면 1)에서와 같이 다음 조건이 만족되어야 함
∂{μ(f)*R}/∂f =∂{μ(f)*S}; 이 식에 R, S를 대입하여 정리하면
{-A+B*f^0.5}*dμ(f)/df + B*μ(f)/(2f^0.5) = 0.......(4a)

4) 윗 수식은 dμ(f)와 f의 함수로 된 변수분리형 미분방정식이므로 μ(f)을 구할 수 있음.
dμ(f)/μ(f) = B*df/(2A*f^0.5-2B*f) ...............(5)
ln μ(f) = - ln (A-B*f^0.5); μ(f) = 1/{A-B*f^0.5}....(5a/5b)

5) 위에서 구한 적분인수 μ(f) 즉 1/{A-B*f^0.5}를 원래의 미분방정식 (2)식에 곱하면
-1 + (df/dx)/{A-B*f^0.5}=0 ........................(6)
6) 사실 이 식을 얻기 위해 (즉 적분인수 찾느라) 좀 먼길을 돌아 왔지만 (2) 식을 변형하여 얻어지는 수식과 같은 수식입니다.
1 - df/dx/{A-B*f^0.5} = 0 ...........................(6a)

P(x,f) =1, Q(x,f)=-1/{A-B*f^0.5} 라고 두면
∂P(x,f)/∂f = 0 = ∂Q(x,f)/∂x 이므로 (6a)식도 완전비분방정식이 됩니다.
7) 이 방정식의 풀이에 의한 원시함수 g(x,f)는 다음과 같이 구할 수 있음, 여기서 h(f)는 f함수로 나타낸 적분상수
g(x,f)=∫P(x,f)dx + h(f)......(4)
g를 f로 편미분하면 Q가 됨을 이용하여 윗식에서 h'(f)를 구하고 이를 적분하여 h(f)를 구하여 다시 (4)식에 대입하면 g가 구해짐.

..이하 생략.. (인용한 자료의 수식에서는 이 과정에서 오류가 있는듯 합니다. 또한 마지막 수식은 연쇄고리처럼 나타나는 수식을 표현하는 방법으로, 고급수학에서나 이해할 수 있는 부분이라서 실용적으로는 결과식을 차용해서 사용할 수 밖에 없지요.)

(4) 어려운 과정으로 풀이하고 있는데 (6a)식을 푸는 것이나 (1) 또는 (1a)식을 푸는 것이나 마찬가지이므로 (1a)식을 직접 적분해서 풀어보니 같은 결과가 얻어지는 것 같습니다. 이 풀이과정이 더 손쉬울 것으로 봅니다. (a=A, b=B로 변경)

df/(a-b*f^0.5)=dx ............................(1a)
let u=a-b*f^0.5........................................(7)
f^0.5=(a-u)/b...............................(7a)
du=-b/(2f^0.5)*df........................(7b)
df=-2f^0.5/b du = -2(a-u)/b^2 du..(7c)
따라서 (1a)식은
{-2(a-u)/(b^2u)}du = dx................................(8)

이를 간단히 하여 적분한 후 u를 대입하면

x = ∫dx =∫-{2(a-u)/(b^2u)} du = -2a/b^2*lnu +2u/b^2 + c = -(2a/b^2)*ln(a-b*f^0.5) + 2(a-b*f^0.5)/b^2 + c
= - (2/b)*f^0.5 - (2a/b^2)*ln(a-b*f^0.5) + c ....(9)

윗식은 바로 인용한 자료의 맨 끝에서 두번째 수식과 같은 수식입니다.
x = - (2/B)*f^0.5 - (2A/B^2)*ln(A-B*f^0.5) + c1 .....(10)

이를 f로 풀어놓은 수식이 맨 마지막 수식입니다. 그 식을 사용할 수도 있지만 실용적으로는 식(10)을 이용하여 x와 f(x)의 관계를 수치로 얻은 다음 Regression 수식을 찾아 만들어 사용하면 될 것입니다.

(1) 물질이동수식에 Sievert's equation을 사용하면서 방정식 풀이가 어려워진 것 같습니다.  이 수식은 고체금속에 2분자 기체가 흡착된후 내부로 확산되는데 사용하는 수식으로 보입니다.

(2) Link로 올려놓은 미분방정식 풀이중 맨 끝의 수식은 y=f(x) 형태로 나타내는 문제라서 마치 방정식의 근을 구하는 문제와 같은 부류의 문제인데 흔히 접할수 없는경우라서 별도로 찾아봐야 할 것입니다.  잠정 결론을 먼저 답해드리자면 질문의 시스템에서는 맨 끝에서 두번째 수식을 이용하여 수치해석 방법으로 초기치 f(0)으로부터 x를 미분량 변화시켜가면서 f(x)를 구하는 방법을 사용하는 것이 수월할 것으로 보며 수식에 나타난 적분상수는 경계치를 이용하여 구하면 되겠지요.

(3) df(t)/dt= A-B*f(t) ^0.5 ............................(1) 형식의 미분방정식풀이 (세부 수식 모양은 두번째 링크 참조)
     df/(A-B*f^0.5)=dx        ............................(1a) 변수분리형

1) 선형 혹은 변수분리형으로 변형해도 풀이가 어려우므로 완전미분방정식 형태로로 수식변형:
    {-A+B*f^0.5} + df/dx= 0 ...........................(2)
완전비방형식은  R(x,f)*dx + S(x,f)*df = 0  형태이고  ∂R/∂f = ∂S/∂x인 경우임;

2) ∂R/∂f = ∂S/∂x이 아닐경우 (1)식의 양변에 적분인수를 곱하여 완전미방형식으로 변화시키기 위해, (2)식을 
    {-A+B*f^0.5} + df/dx ≡ R + S*df/dx = 0......(2a)
    이라고 두면 항등식이므로 R≡ {-A+B*f^0.5};  S≡1........(3) 이라고 지정됨 (원문에서는 R의 부호 다름)

3) 위의 (3)식에 적분인수 μ(f)를 곱해서 얻어진 수식은..
    μ(f)*R  + μ(f)*S*df/dx = 0 .........................(4) 이것이 완전미방이 되도록 이 μ(f)를 구함   
    적분인수를 곱한 후 얻어진 이 수식이 완전미방이라면 1)에서와 같이 다음 조건이 만족되어야 함
     ∂{μ(f)*R}/∂f =∂{μ(f)*S};  이 식에   R, S를 대입하여 정리하면
    {-A+B*f^0.5}*dμ(f)/df + B*μ(f)/(2f^0.5) = 0.......(4a)

4) 윗 수식은 dμ(f)와 f의 함수로 된 변수분리형 미분방정식이므로 μ(f)을 구할 수 있음.
    dμ(f)/μ(f) = B*df/(2A*f^0.5-2B*f) ...............(5)    
    ln μ(f) = - ln (A-B*f^0.5);  μ(f) = 1/{A-B*f^0.5}....(5a/5b)

5) 위에서 구한 적분인수  μ(f) 즉 1/{A-B*f^0.5}를 원래의 미분방정식 (2)식에 곱하면
    -1 + (df/dx)/{A-B*f^0.5}=0 ........................(6)   
6) 사실 이 식을 얻기 위해 (즉 적분인수 찾느라) 좀 먼길을 돌아 왔지만 (2) 식을 변형하여 얻어지는 수식과 같은 수식입니다. 
    1 - df/dx/{A-B*f^0.5} = 0 ...........................(6a)
    
    P(x,f) =1,  Q(x,f)=-1/{A-B*f^0.5} 라고 두면 
    ∂P(x,f)/∂f = 0 = ∂Q(x,f)/∂x  이므로 (6a)식도 완전비분방정식이 됩니다.  
7) 이 방정식의 풀이에 의한  원시함수 g(x,f)는 다음과 같이 구할 수 있음, 여기서 h(f)는 f함수로 나타낸 적분상수
    g(x,f)=∫P(x,f)dx + h(f)......(4)
    g를 f로 편미분하면 Q가 됨을 이용하여 윗식에서 h'(f)를 구하고 이를 적분하여 h(f)를 구하여 다시 (4)식에 대입하면 g가 구해짐.

..이하 생략..  (인용한 자료의 수식에서는 이 과정에서 오류가 있는듯 합니다. 또한 마지막 수식은 연쇄고리처럼 나타나는 수식을 표현하는 방법으로, 고급수학에서나 이해할 수 있는 부분이라서 실용적으로는 결과식을 차용해서 사용할 수 밖에 없지요.)

(4) 어려운 과정으로 풀이하고 있는데 (6a)식을 푸는 것이나 (1) 또는 (1a)식을 푸는 것이나 마찬가지이므로 (1a)식을 직접 적분해서 풀어보니 같은 결과가 얻어지는 것 같습니다. 이 풀이과정이 더 손쉬울 것으로 봅니다.  (a=A, b=B로 변경)

df/(a-b*f^0.5)=dx        ............................(1a)
  let u=a-b*f^0.5........................................(7)
  f^0.5=(a-u)/b...............................(7a)
  du=-b/(2f^0.5)*df........................(7b)
  df=-2f^0.5/b du = -2(a-u)/b^2 du..(7c) 
  따라서 (1a)식은  
  {-2(a-u)/(b^2u)}du = dx................................(8)

이를 간단히 하여 적분한 후 u를 대입하면

x = ∫dx =∫-{2(a-u)/(b^2u)} du = -2a/b^2*lnu +2u/b^2 + c = -(2a/b^2)*ln(a-b*f^0.5) + 2(a-b*f^0.5)/b^2 + c
     = - (2/b)*f^0.5 - (2a/b^2)*ln(a-b*f^0.5) + c  ....(9)

윗식은 바로 인용한 자료의 맨 끝에서 두번째 수식과 같은 수식입니다. 
x =  - (2/B)*f^0.5 - (2A/B^2)*ln(A-B*f^0.5) + c1 .....(10)

이를 f로 풀어놓은 수식이 맨 마지막 수식입니다.   그 식을 사용할 수도 있지만 실용적으로는 식(10)을 이용하여 x와 f(x)의 관계를 수치로 얻은 다음 Regression 수식을 찾아 만들어 사용하면 될 것입니다.

아이네아스 getnight

13-11-05 09:19

답변 감사드립니다.

이제야 확인을 한 점 죄송하게 생각합니다.

여러 방정식 형태를 보는 와중에

1계 비선형 미분방정식 풀이 가능한 형태인 변수분리라고 생각을 하고 있었는데 그것 또한 아니였네요

답변 감사드립니다.

제가 할 수 있는데까지는 최선을 다해보도록 노력하겠습니다.

좋은 하루 보내시길 바랍니다.

스테파노 Stefano

13-11-05 21:31

(1) "치환적분"
원래의 수식이 변수분리형인데 굳이 완전미방형식으로 고칠필요도 없이 (7)과 같이 분모를 u로 나타내면 (7a)~(7c)의 관계식이 얻어져 이들을 이용하면 (8)식과 같이 적분하기 쉬운 변수분리형 미분방정식으로 변형됩니다.

(2) 위의 (9)식 혹은 (10)식은 "x=..."와 같은 수식으로 나타냈기 때문에 "y=f(x)=..."형태로 나타낸것보다 불편해 보이지만 여전히 x와 f(x)의 관계를 명확히 나타내고 있어서 굳이 이상한 방정식으로 나타내려하지 말고 직접 그래프로 그려 나타내거나 수치해석의 도구등을 이용하여 풀이하는 것이 편리할 것입니다.